Définition :
Soit \(\sigma:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}\) une permutation
Soit \((i,j)\) un couple tel que \(1\leqslant i\lt j\leqslant n\)
La signature de \(\sigma\) est définie par : $$\begin{align}{{\epsilon(\sigma)}}={{\prod_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}\operatorname{signe}(\sigma)}}&={{(-1)^{\text{nb inversions} } }}\end{align}$$
(Signe d’une permutation)
Lemme :
On a : $${{\epsilon(\sigma)}}={{\prod_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} }}$$
Signature d’une composition de permutations
Permutation
Signature d’un cycle
